科研学术

9月7日，上海科技大学数学研究所岳海天副教授应邀做客“学者论坛”， 作了题为“Probabilisticscaling & propagation of randomness under nonlinear dispersive flow”的学术讲座。本次学者论坛由教师发展中心主办，数学科学学院和基础与前沿研究院联合承办，数学科学学院徐立伟教授主持。

在正式开始报告前，岳海天教授从环面上的非线性薛定谔方程（NLS）出发，系统回顾了随机初值问题的研究背景。他首先介绍了确定性框架下的尺度分析：由方程的伸缩不变性可得临界指标，当初值正则性高于临界指标时方程局部适定，而低于临界指标时则可能出现不适定现象。随后他指出，Bourgain在1996年的工作表明，若在低于确定性临界正则性的空间中考虑典则随机初值，则几乎必然仍可得到强解，这一结果打开了随机初值问题研究的大门。沿着这一线索，岳老师将随机初值问题归结为“随机性的传播”这一核心问题，并提出三个自然的问题：能否至少在短时间内用初值的随机结构刻画解？解几乎必然存在且唯一的最优低正则区间是什么？以及随机初值下解的长时间行为如何，例如吉布斯测度的不变性、几乎必然整体适定性与几乎必然散射等。他同时回顾了Lebowitz-Rose-Speer（1988）、Bourgain（1994、1996）等一系列奠基性工作。

在此基础上，岳海天副教授重点讲解了“概率尺度”这一核心思想。他解释了为何确定性的尺度启发式在概率框架下不再适用，以及如何给出概率意义下判定适定性临界正则性的“正确”尺度启发式，并说明该启发式如何为在更低正则性空间中建立几乎必然适定性提供了判据。进一步地，他介绍了解可以在何种意义下被分解并由初值的随机结构所描述。报告中，岳老师结合具体定理与证明思路，介绍了他与邓煜（芝加哥大学）、Andrea Nahmod（马萨诸塞大学阿默斯特分校）合作完成的系列研究成果，并对该方向仍然开放的问题作了展望。

报告结束后，与会师生围绕概率尺度启发式的适用范围以及相关方法的应用等问题与岳海天副教授进行了热烈的交流和讨论，岳老师对师生提出的问题进行了细致解答，现场学术氛围浓厚。