科研学术

8月30日，中国科学技术大学陈世炳教授应邀做客“学者论坛”，作题为“Introduction to the Regularity Theory of Optimal TransportMaps”的学术讲座。本次论坛由教师发展中心主办，数学科学学院和基础与前沿研究院联合承办，数学科学学院向昭银教授主持。

报告围绕最优传输映射的正则性理论展开系统分享。陈世炳教授以物资调运的现实场景为切入点，通过“如何将合肥物资运往成都并实现运输成本最小化”这一通俗实例，引出Monge最优运输问题，用严谨的数学语言刻画最小成本输运问题，介绍经典二次代价函数以及最优输运映射需要满足的保测度条件。

陈世炳教授指出，借助紧性与子列收敛方法求解极小化问题是一条直观思路，但该方法在处理原始Monge问题时存在固有局限。为此，报告介绍了Kantorovich于1942年提出的对偶化原理，讲解最优传输理论中的基石---Brenier定理：在合适条件下，二次代价对应的最优输运映射唯一，并且可以表示为某个凸函数的梯度。依托Brenier定理，自然导出Monge‑Ampère方程，进而引出最优输运映射的核心科学问题---正则性研究。

随后，陈世炳教授梳理了最优输运映射的经典正则性系列结果，阐释该理论中区域凸性假设的内在缘由。他指出，合适的凸性条件能够有效排除解的奇异性，保障最优输运映射具备良好的正则性质，是正则理论中十分关键的前提条件。结合自身团队的研究积累，陈教授介绍了该方向近年的前沿进展，重点分享其与合作者在Monge‑Ampère方程、最优传输奇性、自由边界正则性等方面取得的代表性研究成果。

报告尾声，陈世炳教授梳理了当前领域尚存的若干开放性科学问题，围绕奇异集精细结构、非凸区域下的正则性等难点展开探讨，为在场师生后续开展相关研究提供了新思路与研究启发。

报告结束后，在场师生就报告内容与陈世炳教授开展深入交流讨论。本次学术报告兼具理论深度与前沿视野，帮助参会人员进一步理解最优传输与完全非线性偏微分方程的内在关联，拓宽了师生的学术研究视野。