成电讲堂

　　6月13日、16日，同济大学的许学军教授、浙江大学王成波教授做客学者论坛，分别作了题为“Local Multigrid with Application”“具有适当曲率条件的黎曼流形上的非线性波动方程”的学术报告。

　　许学军教授的报告由Motivation、Local Multigrid、Application、Numerics等部分组成。他首先介绍了自适应有限元的优缺点，给出了设计多重网格的动力所在。他对多重网格的概念也进行了说明，让没有接触过多重网格的同学们很好地理解并真正进入到本次的报告中。接着，他从最简单的椭圆方程入手，分析了如何应用自适应有限元算法解决该问题。然后介绍了V-循环算法，并展示了其收敛性。他提到，该算法以及相关算法具有广泛的应用，在信号、Time-harmonic等方程上均有使用的空间。最后，他把实验结果展示给了大家看，清晰地显示了在达到类似效果时，明显减少了计算的步骤，表现了其算法的优越性。

　　报告结束后，许学军教授与在座各位师生进行了热烈的互动交流，他所介绍的V—循环算法开拓了大家的视野，为有限元领域的研究打开了新的思路。

　　王成波教授在报告中介绍了非线性常微分方程和线性波动方程的解的相关性质以及欧氏空间的有关结论，为后面讲解非线性波动方程做相应的知识准备。针对最简单的二阶常微分方程，他指出若存在一个守恒量且初始值和初始速度大于0，则可得出最大存在时间小于∞；考虑线性波动方程，其解在3维欧氏空间中可由球内平均转化为一维波动方程，进而得到其基本解公式，再结合能量等式，最终得出波动方程的解有衰减性。因此，若考虑非线性波动方程，为使方程有整体解，必须满足有小初值及适当的无穷远处的衰减性，从而将该问题转化为小初值的问题。他谈到，在小初值的问题中，若p越大，其非线性效应越弱，预期方程可能有整体解；否则若p充分接近1，可能无整体解，导致直观上出现临界指标。若把欧氏空间换为一般的黎曼流形，则整体解的存在性与具体流形有关。

　　王成波教授强调，要证明黎曼流形上非线性波动方程整体解的存在性，必须挖掘相应的衰减性。故在研究过程中，对流形施加相应要求也就变得至关重要。同时，由于欧氏空间的结果已相对完整，故在推广到一般流形时，其结果集中于在无穷远处都收敛到欧氏空间的流形上，特别是，有外曲或渐近流形等。对于一般的流形，他指出由于紧流形在某种意义下可看成常微分方程，故而无整体解；而在曲率条件的约束下，若曲率有正的下界，则流形是紧流形，故而也无整体解。换言之，若要有整体解的结构，关于曲率条件，要有小于0的部分。

　　我校相关研究方向的老师和学生参加了本次报告，并同王成波教授就相关问题进行了探讨。此次交流有助于我校数学科学学院师生更好地在相关领域开展研究。

　　以上学术沙龙由学校人力资源部教师发展中心主办，由数学科学学院承办。

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　　许学军，教授，同济大学数学科学学院院长，曾任中国计算数学学会常务理事、秘书长，国家973项目小组负责人，中国数学会理事，中国工业和应用数学会理事。国家杰出青年基金获得者，2001年获德国洪堡奖学基金，并于2002-2003年在德国进行合作研究，曾获得过中科院优秀博士后称号和中国数学会钟家庆数学奖，以及中科院数学与系统科学研究院十大重大科研进展奖（2007）和中科院数学与系统科学研究院突出科研成果奖（2008）。在SIAM J. Numer. Anal.、 Numer. Math.等国际一流专业学术期刊上发表论文60余篇。

　　王成波，浙江大学数学学院教授，博士生导师。1998年至2008年在浙江大学学习、工作，2008年至2011年任Johns Hopkins University 助理教授，2011年至2015年任浙江大学特聘研究员。浙江省杰出青年基金获得者，作为第二完成人获得2014年度教育部自然科学二等奖。研究成果在CMP，CPDE，JDE，JMPA，JFA，Math. Ann.，Trans. AMS等著名期刊发表，同时得到了菲尔兹奖获得者陶哲轩，国际数学家大会报告人Hart Smith、Chris Sogge、Daniel Tataru等一流学者的关注与引用。